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敲重点!AMC 10竞赛真题详解~这些难题你攻克了吗?

2018-12-24

“学好数理化,走遍天下都不怕”。在扎堆申请、美国高校招生名额骤减的情势下,数十万人都参加的美国数学竞赛AMC毫无疑问就是一项能百分百吸引招生官眼球的比赛!

1950年首次开办起,AMC目前已经成为世界上可信度最高、通用性最强的数学科目测试。参赛的国家和地区就有几十个,每年在美国本土正式登记参加比赛的学生就有35万人次和6千所学校。


虽说称之为竞赛,但其实AMC是一个定时考试,并根据年级分为AMC 8 、AMC 10和AMC 12。这里,小编对2002年~2018年累计34套AMC 10试题进行了分析,一起来看看考题中都涉及了哪些知识点题型吧!


面积(Area)


在AMC 10中,每套题里面平均差不多有4道和面积相关,而且往往都是连着出,上一道面积,下一道还是面积......


为什么会有这么多面积题?小编认为主要原因是美国在上个世纪60年代砍掉了数学教材中的几何部分,因此几何面积题成了很多学生的软肋。另一个原因当然就是为了人工智能技术的基础——微积分做准备。


在AMC 10题目中,很多时候面积会和勾股定理、相似三角形、托勒密定理、海伦公式等掺杂在一起出题,有的题目还需要做适当的辅助线例如看一道2005 AMC 10B的第14题:


题目翻译如下:

等边三角形ABC,边长为2。M是AC边中点,C为BD边中点,求三角形CDM的面积。


此题可以直接套用等边三角形CAB的面积公式:√3/4 *a^2=√3/4*2^2=√3(√表示根号)。


因为M为AC的中点,做ME垂直于BC于E,AF垂直于BC于F,因此三角形CME相似于三角形CAF,ME为AF的一半,也就是三角形CDM的高为三角形CAB的一半,而它们的底相同,因此三角形CDM的面积为三角形CAB的一半,即√3/2。


故而答案为C。

日常应用(Apply)


日常应用题在AMC 10的竞赛题中非常具有特色,如2018年AMC 10的第20题:


题目翻译如下:

一个二维码由7*7个网格组成,分别由黑色或者白色填充,不能全黑或者全白。二维码必须是对称的,即无论它旋转多少个90度,形状应该保持一样。另外该图形沿对角折叠、水平/垂直中线翻转应该也是一样的。那么,这样的图案一共有多少种式样?


本题的解法如下:将7X7的正方形沿着横轴中心线、纵轴中心线、两条对角线分别对折四次,最后得到如下三角形:



根据题意,只有图中三角形里面的10个区域的颜色是可变的,一旦这个三角形里面的10个区域颜色确定,整个7X7区域格子里面的颜色都可以根据对称性得到。


按照乘法原理,10个格子共有2^10=1024个不同的配色方案,去掉两个全白和全黑:  1024-2=1022。因此答案选(B)。

解方程(Equations)

函数方程是微积分和线性代数的基础,而微积分和线性代数是人工智能技术的基础。这里我们看一道线性方程的送分题-2002年AMC 10第12题:


题目翻译如下:

k对应哪个数值的话,使得方程中的x没有解?


如果学生有平面几何概念的话,应该会立刻反应过来:x无解的话,就意味两条线要平行。平行的话,让 k+2=7 就可以了。于是答案自然选(E)。


概率计算(Probability)

AMC 10中的概率题可谓五花八门,与各种各样的知识点结合在一起出题。2011年AMC 10B第16题,就是一道和几何面积计算相结合的概率题目。


题目翻译如下:

正八边形被图中所示分割,对它扔飞镖的话,落在中间正方形的概率是多少?


看题意可知,题目主要求的就是面积比的计算,概率就是中间正方形和整个八边形的面积比就好了,故而答案选(A)。


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